Công thức Giới_hạn_Bekenstein

Dạng bất đẳng thức thường thấy của giới hạn này được Jacob Bekenstein tìm ra là[1][2][3]

S ≤ 2 π k R E ℏ c , {\displaystyle S\leq {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}},}

trong đó S là entropy, k là hằng số Boltzmann, R là bán kính của mặt cầu bao quanh hệ đã cho, E là khối lượng–năng lượng tổng cộng tính cả khối lượng nghỉ, ħ là hằng số Planck thu gọn, và c là tốc độ ánh sáng. Để ý rằng tuy trọng lực đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành nên giới hạn, nhưng hằng số hấp dẫn G không có trong bất đẳng thức này.

Nếu biểu diễn bằng thông tin, với S = kIln 2, giới hạn này được tính bằng

I ≤ 2 π R E ℏ c ln ⁡ 2 , {\displaystyle I\leq {\frac {2\pi RE}{\hbar c\ln 2}},}

trong đó I là lượng thông tin biểu diễn bằng số bit chứa trong trạng thái lượng tử của quả cầu. Hệ số ln 2 là do thông tin được định nghĩa là logarit cơ số 2 của số trạng thái lượng tử.[4] Sử dụng sự tương đương khối lượng–năng lượng, giới hạn thông tin trên có thể viết lại thành

I ≤ 2 π c R M ℏ ln ⁡ 2 ≈ 2.5769082 × 10 43   bit kg ⋅ m ⋅ M ⋅ R , {\displaystyle I\leq {\frac {2\pi cRM}{\hbar \ln 2}}\approx 2.5769082\times 10^{43}\ {\frac {\text{bit}}{{\text{kg}}\cdot {\text{m}}}}\cdot M\cdot R,}

trong đó M là khối lượng, còn R là bán kính của hệ.